▲史教授：还要帮助学生树立建立模型的思想，积累数学活动经验。在函数的重要性那里我已经谈到，函数是对现实世界数量关系的抽象，是具有一般性的，是建立数学模型的基础。因此通过建立模型、分析模型、求解模型、解释规律等过程，引导学生理解函数是一个好的学习途径。一定要注意到，在建立模型的过程中，除了分析的方法之外，还有尝试的方法，就是先用具体的数值计算一些特殊的情况，然后再归纳出一般的模型。比如鸡兔同笼问题，可以先用具体的数计算一下，摸索头的数与腿的数之间的关系，然后再寻求一般的结论。
在这样的学习过程中帮助学生积累数学活动经验是重要的。要使学生在实践活动中感悟：数学不仅仅需要演绎，也需要归纳。所谓归纳推理（包括类比）是指一类事物中，部分事物具有某种属性，推断这一类事物都具有这种属性，这是一个由特殊到一般的过程。而演绎推理则恰恰相反，是从已有的事实（公理、定义、定量等）出发，按照一定的法则（包括运算法则）进行推理，是从一般到特殊的过程。可以想象，前者利于推测结论，后者利于验证结论，在数学的学习中，这二者缺一不可。可以想象，通过类似建立数学模型这样的学习，可以培养学生的归纳能力，在实践中应用函数，从而加深对函数的理解。
问：函数和中学数学的其他内容有着密切的联系，您认为在课程设计时应当如何协调好这些关系？
▲史教授：关键要处理好函数与图形的关系。正如莱布尼茨提出Function这个名词时所思考的那样，函数与图形有着密不可分的关联。一方面，只有借助图形才能使毫无生机的数学符号变得形象，使得学生可以直观地把握函数的特性，把握函数中系数的作用，分析函数的变化规律、函数的定义域、函数取正值或者负值的区间，等等；另一方面，借助平面直角坐标系，通过函数可以把代数与几何有机地结合起来，可以让学生感悟：有些几何问题可以利用代数的方法进行研究，有些代数问题则可以利用几何的直观进行分析。根据这个理由，我想，虽然在课程标准中，平面直角坐标系是放在几何部分阐述的，但是进行课程设计时可以根据需要，与函数同时出现。
因为函数的知识、方法和思想是高中阶段数学学习的基础，所以在课程设计时还应当考虑知识的衔接和前后呼应。在高中数学教学大纲中，把立体几何安排在第一学期，把三角函数安排在第二学期，如果在解决立体几何问题时用到三角函数就会出现问题。特别是，学生在初中阶段已经接触到函数了，到了高中可以趁热打铁。
三、函数的教学
问：您谈到在函数的教学过程中应当使学生加深对函数的理解，您能否谈得再详细一些？
▲史教授：一个好的教学应当能够实现下面两条：一是能够引发学生思考、激发学生学习的兴趣，另一是能够培养学生良好的学习习惯、掌握有效的学习方法。简单明了、切中要害的例子是帮助学生加深理解最好的媒介，一位好的教师应当掌握一些具体的例子，这样在教学过程中可以根据学生的反映举出简单一些或者复杂一些的例子，引发学生思考，帮助学生理解。良好的学习习惯和有效的学习方法是需要日积月累的，有效的学习方法包括独立思考、善于尝试、能够提出有意义的问题。所以我曾经谈到，在进行函数教学的过程中应当让学生用具体的数试一试。
刚才我已经谈到，函数与图形的联系是非常重要的，因此在教学过程中要利用图形，在有条件的地方可以用计算机辅助教学。几何画板制作的教学课件可能会有助于学生对函数概念的直观理解。
问：学生对函数概念的学习有这样一种现象，如求函数的定义域、值域等技巧性很强的问题解决得很好，但对函数概念的理解却不是很深刻，请您谈谈这和教学是否有关系。
▲史教授：你说的这种现象是存在的。形成这种现象的原因是多方面的，有考试的，有教学的，也有历史文化方面的。记得有一篇文章谈到：西方人主张“理解、理解、理解”，而我们则多半主张“练习、练习、练习”。 ［7］最近，我听说有的学校要求学生：“一看就会，一做就对。”为了做到这一点，在课堂教学时就必须进行大量的解题训练，甚至是相当繁杂题目的解题训练。他们让学生练习的目的不是为了加深对知识的理解，而是为了加强对技巧的掌握，是为了“熟能生巧”，认识只有通过这样的训练才能应付考试。他们的想法是不对的，在这种想法之下是不可能派生出好的教学的。应当知道，知识的理解往往是具有一般性的，可以举一反三，可以再创造，技能的掌握则往往是个案的，需要亲身经历，需要记忆。因此，帮助学生理解才是最重要的，因为理解必须经过学生的独立思考，才能使学生真正地掌握知识，从而能够真正地掌握技巧，甚至发明技巧，才能以不变应万变。我想，要求学生能够熟练地回答问题是不必要的，时间长一点只要把问题做出来就可以了。不经过思考的解题不是数学教学。另一方面，在教学活动中的大量重复训练必然要破坏数学的趣味性，引起学生的反感，抑制学生的学习积极性，更谈不到创新人才的培养了。
你问到函数的定义域和值域。事实上，要理解函数就必须理解定义域和值域，因为这些是函数的基本概念。在一般情况下，根据问题的背景可以先得到定义域，然后通过函数的变化规律得到值域；在有些情况下，希望控制函数在某一个区间取值，于是就先得到了值域，然后反推定义域。通过练习，很好地理解定义域和值域，对于深入理解函数性质是很重要的。但是，那些在求定义域和值域中加了许多花样的题目，不是在求定义域和值域，而是在进行代数方程的运算。这样的技巧训练，往往会破坏学生对函数的定义域和值域本身的理解，是不可取的。
四、函数的学习
问：函数通常有三种表示形式，这是不是造成学生学习函数困难的原因呢？应当如何理解函数的表示形式？
▲史教授：我想，表示方法本身不应当是学生理解函数概念困难的主要原因。正如我刚才谈到的，函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念，在这个定义下可以派生出许许多多具体的函数。对于初中学生来说，对于这种多层次概念的理解是需要时间和经验积累的，如果在这个时候不能很好地处理函数的表达形式，必将引起学生的困惑。因此，在教学过程中，先不要忙于教三种表达形式，而要让学生通过各种实例，逐渐熟悉了函数的对应关系之后，再适时地归纳出函数通常的三种表达形式。事实上，表达形式不是函数的本质，对应关系才是重要的。
虽然函数通常有三种表达形式，但功能是有所区别的。解析式是最常用的方法，适用于表述连续函数或者分段函数，解析式有利于研究函数的性质、构建教学模型，但对初学者来说也是最抽象的；列表法适用于表述变量取值是离散的情况；利用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的。世间没有十全十美的方法，可以根据讨论问题的不同选择恰当的表示形式。
问：您能否针对函数概念的形式化，再谈谈学生学习函数时遇到的困难？
▲史教授：这是一个非常普遍的问题。正如我刚才谈到的，学生第一次接触如此形式化的概念，感到困惑是自然的。应当注意到，初中阶段是人的身心发育最为显著的阶段，也是形成人的基本观念的重要阶段，这个阶段的学生开始希望自己独立思考，并且有能力进行独立思考了。正如皮亚杰（Piaget）说的那样，十一二岁的儿童已经到了形式操作（Formal Operations）阶段，可以区分思维形式与思维内容，能够运用假设进行各种逻辑推理（J.Piaget,The Principles of Genetic Epistemology,Routledge %26amp; Kegan Paul Ltd.,1972（W.Mays从1970年的法文版翻译成英文））。我们的教学必须充分考虑到这一点，只要教学得当，学生是可以理解形式化的概念的。但这种形式化要建立在物理的背景之下，让学生逐渐熟悉形式化的概念。
对于学生来说，最难于理解的大概是形式化的反函数。这不仅仅是抽象的问题，还涉及辩证的思维。再有一个是变量的概念。研究表明，初中阶段还有很大一部分学生不能用运动、变化的观点来看待问题。但是变量是从算术提升到代数的关键，必须通过一些实例让学生逐渐感悟：变量的研究具有一般性，这是建立数学模型的根本，也是数学的根本。不过，这些概念的形成必须引导学生自己逐渐感悟。只有到高中阶段，学生才能对其所理解的概念，作出较全面的反应本质特征和属性的合乎逻辑的定义。 ［8］
参考文献：
［1］张奠宙，张广祥.中学代数研究［M］.北京：高等教育出版社，2006.93.
［2］M·克莱因.古今数学思想（第一卷）［M］.上海：上海科技出版社，1979.123.
［3］陆书环.美国中学数学教材中的函数概念及特点分析［J］.中学数学，1999，（3）：6—7.
［4］高夯.高观点下的中学数学分析学［M］.北京：高等教育出版社，2001.90—91.
［5］史宁中，孔凡哲.方程思想及其课程教学设计［J］.课程·教材·教法，2004，24（9）：27—31.
［6］丁尔升.中学数学课程导论［M］.上海：上海教育出版社，2000.
［7］张奠宙.数学教育经纬［M］.南京：江苏教育出版社.2003.99.
［8］朱智贤，林崇德.思维发展心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，1996.547—549.
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