拉格朗日中值定理的应用
摘要：
本文先给出拉格朗日中值定理内容、传统证明思想及一种全新证明方法，给出了传统证明思想的应用，然后总结了高等数学中拉格朗日中值定理四个方面的应用，并举例加以说明。本文还创造性地用拉格朗日中值定理证明“L HosPital法则”，阐述了拉格朗日中值定理在教学中对学生进行创造性思维的培养。
Abstract:
This article produces the Lagrange theorem of mean content, the traditional proof thought and one brand-new proof method first, has produced the traditional proof thought application, then summarized in the higher mathematics the Lagrange theorem of mean four aspects applications, and gives an example to perform to explain。This article also creatively with the Lagrange theorem of mean proved "L‘HosPital principle", elaborated the Lagrange theorem of mean carries on the creative thought in the teaching to the student the raise.
关键词：罗尔定理 拉格朗日中值定理 根的存在性极限 L HosPital法则 微分基本共识
Key word: Rolls the theorem, Lagrange theorem of mean, root existence, limit, L HosPital principle, differential basic mutual recognition
一、 拉格朗日中值定理的内容及证明
1.拉格朗日中值定理的内容
拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足下列条件：1)在[a，b]上连续，2)在(a，b)内可导，则在a与b之间至少存在一点ξ，使得f(b)- f(a)=f’(ξ)(b一a)。(a<ξ< b)
2. 拉格朗日中值定理的证明
2.1传统构造辅助函数法证明拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是高等数学中重要定理之一，它的证明通常以罗尔中值定理作为预备定理，关键在于构造一个辅助函数，而辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件，证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论。
证明拉格朗日中值定理的一般方法(也是教科书上的证明方法)是通过曲线弧与弦的坐标差构造辅助函数：
F(x)=f(x)-f(a)+ (x-a)
由F(x)满足罗尔定理的条件，利用罗尔定理得出结论。
2.2一种创造性的证明方法：
从罗尔定理出发,采用坐标旋转法及隐函数、复合函数求导法则,证明拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)使得等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。
证明:将直角坐标系XOY逆时针旋转α角, 建立直角坐标系UOV。
取 =arctan
设y=f(x)在直角坐标系UOV下的显式表达式为v=g(u)设G(u,v)=g(u)-v
则y=f(x)在UOV下的隐式表达式为G(u,v)=0。
任取L上一点P,设该点在直角坐标系XOY下的坐标为(x,y),在直角坐标系UOV 下的坐标为(u,v)
则有下列关系式成立：
即
当x=a时,u=a′当x=b时,u=b′
集合[a,b]与集合[a′,b′]一一对应。
对G(u,v)=0两端对x求导得
Gu·ux+Gv·vx=0
Gu·(y′sinα+cosα)+Gv(y′cosα-sinα)=0 (1)
∵α= arctan ∴坐标轴u与线段AB平行
于是函数v=g(u)在闭区间[a′,b′]上连续,在开区间(a′,b′)内可导, 并且g(a′)=g(b′)即函数g(u)在[a′,b′]上满足罗尔定理条件,于是在(a′,b′)内至少存在一点c,(a′<c<b′)使得g′(c)=0。
设对应g′(c)=0。
由⑴式
则
即至少存在一点ξ∈(a,b),使f′(ξ)cosα- sinα=0
f′(ξ)=tanα=
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)
证毕。
二、拉格朗日中值定理证明中构造辅助函数法的应用
拉格朗日中值定理在中值定理证明问题中的应用是源于拉格朗日中值定理证明的思想方法。
定理证明的思想方法是：
第一步，将结论中的ξ改为z，化简整理使等式右边为
零。即
第二步，将等式右边关系式写为某一函数的导数。即
第三步，设辅助函数，并对它利用罗尔定理证明其结论成立。即设
易验证
所以，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理，故至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，从而推出
f(b)- f(a)=f’(ξ)(b一a).
例 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(O)=0，f(1)= ／4，证明：存在 ∈ (0，1)，使得
证明：设F(x)=f(x)-arctanx，容易验证F(x)在[0, 1]上连续，在(0，1)内可导，且有
F(0)=f(0)-arctanO=0—0=0，
F(1)=f(1)-arctanl= ／4- ／4=0
即
F(0)=F(1)。
故F(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，从而存在ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即
三、拉格朗日中值定理四个方面的应用
3.1判定根的存在性
例：设f（x）在（a,+∞）上连续，且当x>a时，有f’(x)>1，证明，如果f(a)<0，则方程f(x)=0在(a,a-f(a))内有且仅有一个实根。
证：存在性，又题设知，函数 f(x)在[a,a a-f(a)]上连续，在(a,a-f(a))上可导，根据拉格朗日中值定理，在(a,a-f(a))内至少存在一点ξ，使
f(a-f(a))- f(a)=f’(ξ)[(a-f(a))-a] a<ξ<a-f(a)成立，亦
f(a,a-f(a))=f(a)-f(ξ) f(a)
因f(a)<0，f’(ξ)〉1 有
f(a-f(a))=[- f(a)][f’(ξ)-1]〉0
从而f(a)·f(a-f(a))<0，根据连续函数的介值定理知，在区间（a,a-f(a)）内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0成立，即方程f(x)=0在（a,a-f(a)）内至少有一个实根。
唯一性，因f’(x)>1>0，函数f(x)在[a,a-f(a)]上单调增加，从而知f(x)=0在(a-f(a)) 内有且仅有一个实根。
3.2函数在区间上的性态（单调性）
例 证明f(x)=(1+ ) 在[1，∞]上单调增加。
证明：若令g(x)=㏑(1+ ) =x㏑(1+ ),
则只须证明g(x)单调增加。
g’(x)=[ x㏑(1+ )]=[㏑(1+x)- ㏑x]-
对函数ln(x+1)-lnx应用拉格朗日中值定理得到
ln(x+1)-lnx= ∈(x，x+1)，
得到
g’(x)= - 〉0 （x>0）
因此，由上面结论推出g(x)单调增加，从而f(x)在[1，∞]上单调增加．
3.3证明不等式
若函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，则可得 =f’(ξ),(a<ξ<b) 由a<ξ<b，当可得到f’(ξ)的一个取值范围。从而 就有一个取值范围，相应地得不等式，这就是利用拉格朗日定理证明不等式的依据。
因此在使用拉格朗日定理证明不等式时，首先应进行不等式的变形，使不等式的一边成为某个函数是某个区间上的函数增量与自变量增量之比，然后，对该函数在该区间上使用拉格朗日中值定理。
例 0<a<b 证明1- <㏑ < -1.
证明：考虑f(x)= ㏑x,x [a,b],显然f在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，根据拉格朗日中值定理，有
㏑b-㏑a= (b-a),
因为
< < ,
所以
<㏑ <
此即是所欲证明的。
3.4求函数极限
中值定理的一个重要的应用是计算极限，尤其是计算不确定的比，即 0／0型不定型的极限。
如果分子分母的两个函数都连续，并存在一阶导数，由拉格朗日中值定理知，每一个函数可写成
f(x)=f(a)+f ( )(x-a) (a< <x),
g(x)=g(a)+g ( )(x-a) (a< <x),
由此得到
= 。
由x ，必有 ， 。
于是比的极限为
此式即为罗比塔法则，这时等式右端就不再是不确定的，这就给出了计算0/0不定型的一个有效方法。
四、创造性地用拉格朗日中值定理证明“L HosPital法则”
例 用拉格朗日中值定理，证明L HosPital法则。
设1） f(x)=0 F(x)=0 2)在点a的某一领域内（含a本身可以除外），f (x)及F (x)都存在，且F (x) 0
3） 存在（或为无穷大）
则 =
证：因 f(x)=0， F(x)=0，而 当x a时的极限与f(a)及F(a)无关。所以可以假设f(a)= F(a)=0
作辅助函数， (t)=f(x)F(t)- f(t)F(x)，则由条件1）、2）知， （t）在闭区间[a,x]（或[x,a]）上连续。在开区间（a,x）(或(x,a))内可导，且 (a) = (x)，有罗尔定理知，在区间(a,x)(或(x,a)内至少存在一点 ，使 ’( )=0)
即 f(x)F ( )- f ( )F(x)=0……(*)
又F(x)-F(a)= F ( )(x-a)，( 介与a与x之间)，而x a，F ( ) 0，F(a)=0，所以F (x) 0
由(*)式得： =
令x | 
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